Der Bonner Matheclub
Universität Bonn
graphisches Element

Beispielaufgaben

Typische Aufgabe für Klasse 7-10:

"Das-ist-das-Haus-vom-Ni-ko-laus".

Man kann das Haus vom Nikolaus malen ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen. Beim "Doppelhaus vom Nikolaus und Weihnachtsmann" zum Beispiel geht das so nicht.

Gibt es eine allgemeine Regel, was man mit einem Strich malen kann und was nicht?

Haus vom Nikolaus

Nimm 1 oder 2!

Setzt Euch zu zweit an einen Tisch und legt 14 Bonbons in die Mitte. Jetzt nehmt Ihr Euch abwechselnd jeweils einen oder zwei davon weg. Wer den letzten Bonbon nimmt, hat gewonnen.

Wenn der Erste klug spielt, kann er immer gewinnen. Probiert es auch mal mit einer anderen Anzahl Bonbons aus!

Nimm 1 oder 2

Typische Aufgabe für Klasse 11-13:

Bekanntschaften

Auf einer Party sind einige Menschen. Davon kenne sich je zwei entweder gegenseitig, oder sie kennen sich gegenseitig nicht - es kommt also nicht vor, daß Person A Person B kennt, aber nicht umgekehrt.

Zeige, daß es zwei Personen mit der gleichen Bekanntenzahl gibt.

Ameisenstraßen

Drei (punktförmige) Ameisen laufen durch die Koordinatenebene. Dabei bewegt sich immer nur eine Ameise, und zwar parallel zu der Linie durch die beiden anderen. Am Anfang befinden sich die Ameisen auf den Positionen (0,0), (1,0) und (0,1).

Kann es sein, daß sie irgendwann auf den Positionen (0,0), (1,0), (0,2) landen?

Lösungshinweise

Bekanntschaften

Jede der n Personen kann zwischen 0 und (n-1) Bekannte auf der Party haben. Nun ist es aber nicht möglich, dass gleichzeitig jemand dort ist, der niemand sonst kennt und jemand, der alle kennt - eine der beiden Anzahlen 0 und (n-1) kommt also nicht als Bekanntenzahl eines Partygastes vor. Damit gibt es aber nur (n-1) mögliche Bekanntenzahlen bei n Gästen, also müssen zwei Gäste die gleiche Bekanntenzahl haben.

Ameisenstraßen

Die Ameisen bilden ein Dreieck. Verschiebt man eine Ecke eines Dreiecks parallel zu der ihr gegenüberliegenden Seite, ändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks nicht, da sowohl eine Grundseite als auch die dazugehörige Höhe gleich bleiben (Scherung). Also bleibt der Flächeninhalt des von den drei Ameisen gebildeten Dreiecks bei all dem Gerenne gleich. Bei der Ausgangskonstellation beträgt er 1/2, also kann er nicht 1 werden, was für die gefragten Endpositionen notwendig wäre.